Question

5．设函数f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$，其中a∈R．
（1）若a=1时，讨论函数f（x）的单调性并用定义给予证明；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），求得单调区间，由定义证明单调性，注意取值、作差、变形和定符号、下结论；
（2）应用定义，取值、作差、变形和定符号、下结论，即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=1-\frac{2}{x+1}$，在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）单调递增，
设x₁，x₂是区间（-1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$．
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间（-1，+∞）上单调递增；
同理，当x₁，x₂∈（-∞，-1）且x₁＜x₂时，又x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增．
（2）设0＜x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
若使f（x）在（0，+∞）上是减函数，只要f（x₁）-f（x₂）＞0，
而$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（a+1）（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$，
所以当a+1＜0，即a＜-1时，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
∴当a＜-1时，f（x）在定义域（0，+∞）内是单调减函数，
即所求实数a的取值范围是（-∞，-1）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，以及应用，考查化简运算能力，属于中档题．