Question

4．点P（x，y）与定点F$（3\sqrt{3}，0）$的距离和它到直线$l：x=4\sqrt{3}$的距离的比是常数$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线m与P的轨迹交于不同的两点B、C，当线段BC的中点为M（4，2）时，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：由点到直线的距离公式及点到直线的距离公式，化简即可求得$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$；
（Ⅱ）设直线方程为：y=k（x-4）+2，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8k（4k-2）}{{4{k^2}+1}}=8$，即可求得k=-$\frac{1}{2}$，即可求得直线m的方程．

解答 解：（Ⅰ）动点P（x，y）满足：$\frac{{\sqrt{{{（x-3\sqrt{3}）}^2}+{y^2}}}}{{|x-4\sqrt{3}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，两边平方整理得：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$，
点P的轨迹方程：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$；…（6分）
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y-2=k（x-4），即y=k（x-4）+2，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由中点坐标公式可知：x₁+x₂=8，
而椭圆的方程可以化为：x²+4y²-36=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-36=0}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²-8k（4k-2）x+4（4k-2）²-36=0．（*）
∴由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8k（4k-2）}{{4{k^2}+1}}=8$，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
k=-代入方程（*），经检验△＞0，
∴直线l的方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
∴直线m的方程：x+2y-8=0．…（12分）

点评 本题考查椭圆的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．