Question

16．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）已知函数y=f（x）在[m，2m]（m＞0）上的最小值为-$\frac{11}{4}$m，求m的值；
（Ⅲ）求证：曲线y=f（x）上不存在两个不同的点A，B，使过A，B两点的切线都垂直于直线AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲求f（x）的解析式，只需找到关于a，b，c的三个等式，求出a，b，c的值，根据函数的奇偶性可得到一个含等式，根据x=-1时，取得极值1，可知函数在x=-1时，导数等于0，且x=-1时，函数值等于1，又可得到两个含a，b，c的等式，三个等式联立，解出a，b，c即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出m的值即可；
（Ⅲ）先假设存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB，则切线斜率与AB斜率互为负倒数，又因为函数在A，B点处的切线斜率时函数在该点处的导数，就可得到含A，B点的坐标的方程，解方程，若方程有解，则假设成立，若方程无解，则假设不成立．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴b=0，
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依题意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即 $\left\{\begin{array}{l}{3a+c=0}\\{-a-c=1}\end{array}\right.$，解得，a=$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1），
（1）2m≤1时，即0＜m≤$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，
f（x）在[m，2m]递减，
∴f（x）_min=f（2m）=4m²-3m=-$\frac{11}{4}$m，解得：m=$\frac{1}{4}$；
（2）$\frac{1}{2}$＜m≤1时，x∈（m，1），f′（x）＜0，x∈（1，2m），f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（1）=-1=-$\frac{11}{4}$m，解得：m=$\frac{4}{11}$；
（3）m＞1时，f′（x）＞0，f（x）在[m，2m]递增，
∴f（x）_min=f（m）=$\frac{{m}^{2}}{2}$-$\frac{3}{2}$m=-$\frac{11}{4}$m，无解，
综上，m=$\frac{1}{4}$或$\frac{4}{11}$；
（Ⅲ）假定存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
则有K_AB=$\frac{1}{2}$（x₁³+x₁x₂+x₂³）-$\frac{3}{2}$f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，
依题意f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{3}{2}$x₁²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$x₂²-$\frac{3}{2}$且x₁≠x₂
∴x₁=-x₂，k_AB=$\frac{1}{2}$x₁²-$\frac{3}{2}$，
又K_AB-f′（x₁）=-1得（$\frac{1}{2}$x₁²-$\frac{3}{2}$）-$\frac{3}{2}$（x₁²-1）=-1
化简得x₁⁴-4x₁²+$\frac{13}{3}$=0，△＜0，无解，
∴假设不成立，故不存在．

点评 本题主要考查了函数导数与函数切线斜率之间的关系，属于导数的常规题．