Question

11．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n-1}}+{a}_{n-1}\sqrt{{a}_{n}}}$（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}前n项和为T_n；
（3）若数列{c_n}满足lgc₁=$\frac{1}{3}$，lgc_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n}}$（n≥2，n∈N^*），试问是否存在正整数p，q，（其中1＜p＜q），使c₁，c_p，c_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q），若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系，可得数列{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=n+1，利用裂项法可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n-1}}+{a}_{n-1}\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$（n≥2，n∈N^*），各项累加即可求得数列{b_n}前n项和为T_n；
（3）假设存在正整数p，q，（其中1＜p＜q），使c₁，c_p，c_q成等比数列，则lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差数列，依题意，可求得存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比数列．

解答 解：（1）因为a_na_n+1=2（S_n+1）①，
所以，a_n-1a_n=2（S_n-1+1）（n≥2）②，
①-②得：a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n（n≥2），又a_n＞0，
所以，a_n+1-a_n-1=2，即数列{a_n}的奇数项与偶数项均构成以2为公差的等差数列．
又a₁=2，a₁a₂=2（S₁+1），解得a₂=3，又a₃=4，2a₂=a₁+a₃，
故数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，a_n=n+1．
（2）由于b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n-1}}+{a}_{n-1}\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{（n+1）n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n（n+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$（n≥2），b₁=1，
因此T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+（$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{2}$）+…+（$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．
（3）假设存在正整数数组（p，q），使c₁，c_p，c_q成等比数列，
则lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差数列，
于是，$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，所以，q=3q（$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$）（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．    
当p≥3，且p∈N*时，$\frac{2（p+1）}{{3}^{p+1}}$-$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{2-4p}{{3}^{p+1}}$＜0，故数列{$\frac{2p}{{3}^{p}}$}（p≥3）为递减数列，
于是$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{2×3}{{3}^{3}}$-$\frac{1}{3}$＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．      
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比数列．

点评 本题考查数列的求和与数列递推关系的应用，考查等差数列与等比数列的判定与通项公式的求法，突出裂项法求和，考查推理与运算能力、逻辑思维能力的综合运用，属于难题．