Question

3．已知函数f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-2$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）-5a+2．
（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；
（2）对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦公式可得t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），把t=sinx+cosx两边平方化为sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．代入即可得到g（t）；
（2））由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，g（t）=t²-2t-5a+2=（t-1）²-5a+1在区间[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，g（t）_min=g（1）=1-5a，从而f（x）_min=1-5a，由此得到1-5a≥6-2a，易求a的取值范围．

解答 解：（1）∵t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx，
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∵f（x）=1-cos（2x+$\frac{π}{2}$）-2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）-5a+2
=3+sin2x-2（sinx+cosx）-5a
=3+2sinxcosx-2（sinx+cosx）-5a
=3+2×$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-2t-5a
=t²-2t-5a+2，
∴f（x）=g（t）=t²-2t-5a+2（t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]）；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
又∵g（t）=t²-2t-5a+2=（t-1）²-5a+1在区间[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
所以g（t）_min=g（1）=1-5a，从而f（x）_min=1-5a，
要使不等式f（x）≥6-2a在区间[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
只要1-5a≥6-2a，
解得a≤-$\frac{5}{3}$．

点评 熟练掌握两角和的正弦公式、sinx+cosx与sinxcosx的关系、倍角公式、三角函数的单调性、单调性的定义、二次函数最值的求法是解题的关键．