Question

18．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=a，AD=3a，且∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，PA⊥平面ABCD，PA=a，则二面角P-CD-A的大小为arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 如图过点A作AE⊥CD于E，连接PE，由∠PEA是二面角P-CD-A的平面角或补角，由Rt△DAE中，AD=3a，∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则AE=AD•sin∠ADE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，即可求得二面角P-CD-A的大小．

解答 解：如图过点A作AE⊥CD于E，连接PE，
由PA⊥平面ABCD，则PE⊥CD，
故∠PEA是二面角P-CD-A的平面角或补角，
在Rt△DAE中，AD=3a，∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
AE=AD•sin∠ADE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
在Rt△PAE中，tan∠PEA=$\frac{PA}{AE}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴二面角P-CD-A的大小arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故答案为：arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查二面角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．