Question

13．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AD，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求CB₁与平面CAA₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由EF∥BD，B₁D₁∥BD，得EF∥B₁D₁，由此能证明EF∥平面CB₁D₁．
（2）设A₁C₁∩B₁D₁=O，连结CO，由已知推导出∠B₁CO是CB₁与平面CAA₁C₁所成角，由此能求出CB₁与平面CAA₁C₁所成角的大小．

解答 证明：（1）连结BD，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AD，AB的中点，
∴EF∥BD，B₁D₁∥BD，∴EF∥B₁D₁，
∵EF?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴EF∥平面CB₁D₁．
解：（2）设A₁C₁∩B₁D₁=O，连结CO，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，AA₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，∴B₁O⊥平面CAA₁C₁，
∴∠B₁CO是CB₁与平面CAA₁C₁所成角，
∵OB₁=$\frac{1}{2}$CB₁，
∴sin∠B₁CO=OB₁：CB₁=$\frac{1}{2}$，
∴CB₁与平面CAA₁C₁所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．