Question

8．已知圆锥的底面直径和母线长都是$2\sqrt{3}$．
（1）求该圆锥的外接球的表面积；
（2）正方体的一面在该圆锥的底面上，其余四个顶点在圆锥的母线上，求该正方体的棱长．

Answer 1

分析 （1）求出圆锥的高为3，由射影定理可得12=3•2R，求出R，即可求该圆锥的外接球的表面积；
（2）设正方体的棱长为2a，则利用轴截面可得$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{3-2a}{3}$，即可得出结论．

解答 解：（1）设球的半径为R，则
∵圆锥的底面直径和母线长都是$2\sqrt{3}$．
∴圆锥的高为3，
由射影定理可得12=3•2R，∴R=2，
∴该圆锥的外接球的表面积S=4π•2²=16π；
（2）设正方体的棱长为2a，
则利用轴截面可得$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{3-2a}{3}$，
∴a=3$\sqrt{6}$-6．

点评 本题考查圆锥的外接球的表面积、正方体的棱长，考查学生的计算能力，属于中档题．