Question

18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，D为AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）求二面角B-B₁C-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁交B₁C于点E，E为BC₁的中点，由为AB的中点，则AC₁∥DE，又AC₁?平面B₁CD，DE?平面B₁CD，AC₁∥平面B₁CD；
（2）AC=BC，D为AB的中点，CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，可知平面B₁CD⊥平面B₁BD，过点B作BH⊥B₁D，垂足为H，则BH⊥平面B₁CD，B₁C⊥BE，B₁C⊥EH，
∠BEH为二面角B-B₁C-D的平面角，Rt△BHE中，BE=$\sqrt{2}$，BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，则sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：（1）证明：如图，连接BC₁交B₁C于点E，
则E为BC₁的中点．
∵D为AB的中点，∴在△ABC₁中，AC₁∥DE，
又AC₁?平面B₁CD，DE?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD
（2）∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
∴平面B₁CD⊥平面B₁BD，
过点B作BH⊥B₁D，垂足为H，则BH⊥平面B₁CD，
连接EH，
∵B₁C⊥BE，B₁C⊥EH，
∴∠BEH为二面角B-B₁C-D的平面角．
在Rt△BHE中，BE=$\sqrt{2}$，BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
则sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即二面角B-B₁C-D的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于中档题．