Question

13．已知函数f（x）=sinx（cosx-sinx）+$\frac{1}{2}$
（1）若$\frac{π}{2}＜α＜π$，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系求得$cosα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以将f（α）代入函数解析式，由特殊角的三角函数值进行解答即可；
（2）由二倍角公式和辅助角公式将函数转化为正弦函数：f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，根据正弦函数的性质解答．

解答 解：（1）因为$\frac{π}{2}＜α＜π$，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$cosα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$f（α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}$．
（2）因为$f（x）=sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$                   
所以最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．