Question

2．在一次物理与化学两门功课的联考中，备有6到物理题，4道化学题，共10道题可供选择．要求学生从中任意选取5道作答，答对4道或5道即为良好成绩，每道题答对与否相互没有影响，设随机变量ξ为所选5道题中化学题的题数．
（1）求ξ的分布列及其均值；
（2）若学生甲随机选定了5道题，且答对任意一题的概率均为0.6，求甲没有取得良好成绩的概率．

Answer 1

分析 （1）ξ的不同取值为0，1，2，3，4．P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{5-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{10}^{5}}$（k=0，1，2，3，4），进而得出E（ξ）．
（2）因为每道题答对与否相互没有影响，所以甲选定的5道题之间是独立的．设甲取得良好成绩的事件为A，P（A）=${C_5}^4×{0.6^4}×0.4+{C_5}^5×{0.6^5}$，则甲没有得到良好成绩的概率为：1-P（A）．

解答 解：（1）ξ的不同取值为0，1，2，3，4．P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{5-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{10}^{5}}$（k=0，1，2，3，4），
P（ξ=0）=$\frac{1}{42}$，P（ξ=1）=$\frac{5}{21}$，P（ξ=2）
=$\frac{10}{21}$，P（ξ=3）=$\frac{5}{21}$，P（ξ=4）=$\frac{1}{42}$．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{42}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{1}{42}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{42}$+1×$\frac{5}{21}$+2×$\frac{10}{21}$+3×$\frac{5}{21}$+4×$\frac{1}{42}$=2．
（2）因为每道题答对与否相互没有影响，所以甲选定的5道题之间是独立的．
设甲取得良好成绩的事件为A，P（A）=${C_5}^4×{0.6^4}×0.4+{C_5}^5×{0.6^5}$=0.33696．
则甲没有得到良好成绩的概率为：1-P（A）=0.66304．

点评 本题考查了相互独立、超几何分布列及其概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．