Question

12．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足$\frac{f（x）}{f'（x）}＞-x$，则下列不等式成立的是（　　）

• A． 3f（2）＜2f（3）
• B． 3f（4）＜4f（3）
• C． $\frac{f（3）}{4}＞\frac{f（4）}{3}$
• D． f（2）＜2f（1）

Answer 1

分析 由题意构造g（x）=xf（x），求出g′（x），化简已知的式子后，结合题意判断出g′（x）的符号，可得g（x）在（0，+∞）上的单调性，由函数的单调性可得答案

解答 解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
因为定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），
所以x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，
由$\frac{f（x）}{f'（x）}＞-x$，得 $\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＞0，则 $\frac{xf′（x）+f（x）}{f′（x）}$＞0，
则当∈（0，+∞）时，f（x）+xf′（x）＜0，即g′（x）＜0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上递减，
则g（3）＞g（4），即$\frac{f（3）}{4}$＞$\frac{f（4）}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，以及构造函数法，属于中档题．