Question

20．已知函数f（x）=e^x（ax²+bx+1）（其中a，b∈R），函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（-1）=0．
（Ⅰ）若b=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为0，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（-1）=0，求出a的值，由b=1，求出f（0），f′（0），代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论b 的范围，求出函数的单调区间，结合f（x）在区间[-1，1]上的最小值为0，求出b的值即可．

解答 解：因为f（x）=e^x（ax²+bx+1），所以f'（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+1]．
因为f'（-1）=0，所以a-（2a+b）+b+1=0．
所以a=1．                                           …（2分）
（Ⅰ）当a=1时，b=1时，f（0）=1，f'（0）=2，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=2（x-0）．
即2x-y+1=0．                                     …（4分）
（Ⅱ）由已知得f（x）=e^x（x²+bx+1），
所以f'（x）=e^x[x²+（2+b）x+b+1]=e^x（x+1）（x+b+1）．
（1）当-b-1＜-1，即b＞0时，
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＞0得，x＞-1或x＜-b-1；
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＜0得，-b-1＜x＜-1．
所以函数f（x）在（-1，+∞）和（-∞，-b-1）上单调递增，在（-b-1，-1）上单调递减．
所以函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增．
所以函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（-1）=e^-1（2-b）=0．
解得b=2．显然合题意．
（2）当-b-1=-1时，即b=0时，f'（x）=e^x（x+1）²≥0恒成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
所以函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增．
所以函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（-1）=e^-1（2-b）=0．
解得b=2．显然不符合题意．
（3）当-b-1＞-1时，即b＜0时，
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＞0得，x＜-1或x＞-b-1；
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＜0得，-1＜x＜-b-1．
所以函数f（x）在（-∞，-1）和（-b-1，+∞）上单调递增，在（-1，-b-1）上单调递减．
①若-b-1≥1，即b≤-2时，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
所以函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（1）=e（2+b）=0．
解得b=-2．显然合题意．
②若-b-1＜1，即-2＜b＜0时，函数f（x）在在（-1，-b-1）上单调递减，在（-b-1，1）上单调递增．
此时，函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（-b-1）=e^-b-1（b+2）=0．
解得b=-2．显然不合题意．
综上所述，b=2或b=-2为所求．                      …（14分）

点评 本题考查了切线范围问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．