Question

5．如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点 在线段AC′上，若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为和45°和30°，则$\frac{AE}{EC′}$=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，可得∠AOE=45°，∠EOC′=30°，∠OC′E=∠OAE，由正弦定理能求出$\frac{AE}{EC′}$的值．

解答 解：取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，
∵菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，
∴C′O⊥BD，AO⊥BD，OC′=OA，
∴BD⊥平面AOC′，
∴EO⊥BD，
∵二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为45°和30°，
∴∠AOE=45°，∠EOC′=30°，
∵OC′=OA，∴∠OC′E=∠OAE，
由正弦定理得$\frac{OE}{sin∠OC′E}$=$\frac{EC′}{sin∠EOC′}$，$\frac{OE}{sin∠OAE}=\frac{AE}{sin∠AOE}$，
∴$\frac{EC′}{sin∠EOC′}=\frac{AE}{sin∠AOE′}$，
∴$\frac{AE}{EC′}=\frac{sin45°}{sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了正弦定理在求解三角形问题中的应用，是中档题．