Question

9．已知函数f（x）=2x³-3ax²+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在闭区间[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2）=0，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的递增区间即可；
（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最小值即可．

解答 解：（1）f'（x）=6x²-6ax，
因为f（x）在x=2处取得极值，所以f'（2）=0，解得a=2．
（2）f'（x）=6x（x-a），
①当a=0时，f'（x）=6x²≥0，则f（x）在y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R上为增函数；
②当a＜0时，由f'（x）=6x（x-a）＞0得x＜a或$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$；
③当a＞0时，由f'（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0．
即当a=0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，a）和（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（a，+∞）．
（3）①当a≤0时，由（2）可知，f（x）在[0，2]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（0）=1；
②当0＜a＜2时，可知，f（x）在[0，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（a）=1-a³；
③当a≥2时，可知，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以f（x）的最小值为f（2）=17-12a．
即当a≤0时，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜2时，f（x）的最小值为f（a）=1-a³；
当a≥2时，f（x）的最小值为f（2）=17-12a．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．