Question

4．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+x²-3x的单调区间及极值；
（Ⅲ）对?x≥1，f（x）≤m（x²-1）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程．
（Ⅱ）先求导函数，再根据导数和函数单调性关系即可求出单调区间和极值．

解答 解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=1+lnx，
∴f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-0=1×（x-1）
即y=x-1．
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）+x²-3x=xlnx+x²-3x，
∴g′（x）=1+lnx+2x-3=lnx+2x-2，
令g（x）=0，解得x=1，
当g′（x）＞0时，解得x＞1，函数f（x）单调递增，
由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，函数f（x）单调递减，
故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
当x=1时，函数有极小值，极小值为g（1）=-2，无极大值
（Ⅲ）∵?x≥1，f（x）≤m（x²-1）成立，
∴m≥$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，
令h（x）=$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，
$\underset{lim}{x→1}$$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1+lnx}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用构造函数的方法判断单调性，考查运算能力，属于中档题．