Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB=2，AD=a，PD⊥平面ABCD，若边AB上有且只有一点M，使得PM⊥CM，则实数a=1．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数a的取值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AM=m，DP=t，
则P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PM}$=（a，m，-t），$\overrightarrow{CM}$=（a，m-2，0），
∵PM⊥CM，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{CM}$=a²+m²-2m=0，
∴a²=-m²+2m=-（m-1）²+1≤1，
∴m=1，a=1边AB上有且只有一点M，使得PM⊥CM，
故答案为：1．

点评 本题考查实数的取值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．