Question

3．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中点．N是AB的中点．
（1）证明：面PAD∥面MNC；
（2）证明：面PAD⊥面PCD；
（3）求PC与面PAD所成的角的正切；
（4）求二面角M-AC-B的正切．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥PA，CN∥AD，由此能证明面PAD∥面MNC．
（2）推导出CD⊥PD．，从而CD⊥面PAD．且CD⊥面PCD，由此能证明面PAD⊥面PCD．
（3）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与面PAD所成的角的正切．
（4）求出平面MAC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角M-AC-B的正切．

解答 证明：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中点．N是AB的中点，
∴MN∥PA，CN∥AD，
∵PA∩AD=A，MN∩NC=N，PA，AD?平面PAD，MN，NC?平面MNC，
∴面PAD∥面MNC．
（2）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD． 
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD⊥面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
解：（3）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\frac{1}{2}$），C（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），
平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设PC与面PAD所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴PC与面PAD所成的角的正切tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（4）B（0，1，0），M（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{AM}$（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
设平面MAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
设二面角M-AC-B的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin$α=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角M-AC-B的正切tanα=$\frac{sinα}{cosα}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查面面平行、面面垂直的证明，考查线面角、面面角的正切值的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．