Question

15．已知点P（1，1），圆C：x²+y²-4y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）是否存在点M满足OP⊥OM，若存在请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出圆C圆心，半径为，设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}=（x，y-2），\overrightarrow{MP}=（1-x，1-y）$．利用$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{MP}=0$，求出M的轨迹方程．
（2）假设存在点M（x，y），满足OP⊥OM，求出P（1，1），M（x，y），通过$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}=x+y=0$，利用点M的运动轨迹为：${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$，将y=-x带入圆的方程，化简得：x²+x+1=0，方程无解，即可得到结果．

解答 解：（1）圆C的方程可化为x²+（y-2）²=4，
所以圆心为C（0，2），半径为2，（2分）
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}=（x，y-2），\overrightarrow{MP}=（1-x，1-y）$．
由题设知$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{MP}=0$，故x（1-x）+（y-2）（1-y）=0，
即${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$．（5分）
由于点P在圆C内部，所以M的轨迹方程
是${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$．（6分）
（2）假设存在点M（x，y），满足OP⊥OM则  $\overrightarrow{OP}=（1，1），\overrightarrow{OM}=（x，y）$，
若OP⊥OM，P（1，1），M（x，y），$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}=x+y=0$，则y=-x                  （8分）
又因为点M的运动轨迹为：${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$，
所将y=-x带入方程${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{2}$          （10分）
化简得：x²+x+1=0     （*）
方程  （*）无解，所以不存在满足OP⊥OM的点M．（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的方程的综合应用，考查计算能力以及转化思想．