Question

5．以椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心O为圆心，以$\sqrt{\frac{ab}{2}}$为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，抛物线x²=8y的准线过此椭圆的一个顶点．
（Ⅰ） 求椭圆C及其“伴随”的方程；
（Ⅱ）如果直线m：y=x-b与抛物线x²=8y交于M，N两点，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求实数b的值；
（Ⅲ） 过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△A0B（0为坐标原点）的面积为S_△A0B，将S_△A0B表示为m的函数，并求S_△A0B的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即3a²=4c²，则a²=4b²，设椭圆C的方程为$\frac{y^2}{{4{b^2}}}+\frac{x^2}{b^2}=1$，抛物线x²=8y的准线方程为y=-2，它与y轴的交点（0，-2）是椭圆的一个顶点，a=2，b=1，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）将直线方程代入抛物线方程，由△=64-32b＞0，则b＜2，x₃+x₄=8，x₃x₄=8b，x₃+x₄=8，x₃x₄=8b，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，则x₃y₃+x₄y₄=0，则x₃x₄+y₃y₄=0，$⇒2{x_3}{x_4}-b（{x_3}+{x_4}）+{b^2}=0$，b=0或-8 经检验，符合题意，即可求得实数b的值；
（Ⅲ）设切线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，则${x_1}+{x_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$，又由l与圆x²+y²=1相切，$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，k²=m²-1，则$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，即可求得${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|=\frac{{2\sqrt{3}|m|}}{{{m^2}+3}}$，|m|≥1，由基本不等式的性质即可求得S_△A0B的最大值．

解答 解：（Ⅰ） 椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即3a²=4c²，
由a²=b²+c²，则a²=4b²，
设椭圆C的方程为$\frac{y^2}{{4{b^2}}}+\frac{x^2}{b^2}=1$，…（1分）
抛物线x²=8y的准线方程为y=-2，它与y轴的交点（0，-2）是椭圆的一个顶点，
故a=2，
∴b=1，…（2分）
∴椭圆C的标准方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，
椭圆C的“伴随”方程为x²+y²=1．…（3分）
（Ⅱ）设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-b}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，整理得：x²-8x+8b=0，
△=64-32b＞0，
∴b＜2
则x₃+x₄=8，x₃x₄=8b，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，则x₃y₃+x₄y₄=0，即x₃x₄+y₃y₄=0$⇒2{x_3}{x_4}-b（{x_3}+{x_4}）+{b^2}=0$，
∴b=0或-8 经检验，符合题意
∴b=0或-8                            …（6分）
（Ⅲ） 由题意知，|m|≥1．
易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{y_{\;}^2}}{4}+x_{\;}^2=1\end{array}\right.$，整理得：$（k_{\;}^2+4）x_{\;}^2+2{k^{\;}}mx+{m^2}-4=0$，…（7分）
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$．…（8分）
又由l与圆x²+y²=1相切，
∴$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，k²=m²-1．
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{（1+{k^2}）[\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{{{（{k^2}+4）}^2}}}-\frac{{4（{m^2}-4）}}{{{k^2}+4}}]}=\frac{{4\sqrt{3}|m|}}{{{m^2}+3}}$…（10分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|=\frac{{2\sqrt{3}|m|}}{{{m^2}+3}}$，|m|≥1．…（11分）
${S_{△AOB}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{|m|+\frac{3}{|m|}}}≤\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{|m|\frac{3}{|m|}}}}=1$（当且仅当$m=±\sqrt{3}$时取等号），
∴当$m=±\sqrt{3}$时，S_△AOB的最大值为1．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形面积公式与基本不等式的性质综合应用，考查计算能力，属于中档题．