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    20．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面 BCC1B1上运动．现有下列命题：
    ①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线；
    ②若点P到点A的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则动点P的轨迹所在的曲线是圆；
    ③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆；
    ④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线；
    ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．
    其中真命题的个数为（　　）
    A．4B．3C．2D．1

    分析 由BD1⊥面AB1C，可得P在面AB1C和面BCC1B1的交线上判断①正确；由平面截球面轨迹是圆判断②正确；利用平面截圆锥侧面可得P点轨迹所在曲线是双曲线的一支，说明③错误；由椭圆定义说明④不正确；建立空间坐标系，由|PF|=|PG|列式求出动点P的轨迹说明⑤错误．

    解答 解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
    对于②，满足到点A的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；
    对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
    又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，
    ③错误；
    对于④，P到直线C1D1 的距离，
    即到点C1的距离与到直线BC的距离比为1：2，
    ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的椭圆，④不正确；
    对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
    设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得$\sqrt{1+{y}^{2}}$=|x|，即x2-y2=1，
    ∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
    故选C．

    点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

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