Question

12．已知cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，α+β∈（$\frac{7π}{4}$，2π），α-β∈（$\frac{3π}{4}$，π），求cos2α的值．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），sin（α-β）的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．

解答 解：∵cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，α+β∈（$\frac{7π}{4}$，2π），
可得：sin（α+β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$．
cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，α-β∈（$\frac{3π}{4}$，π），
可得：sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{3}{5}$．
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{4}{5}$）-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{3}{5}$=-$\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．