Question

4．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥CD，且AB=AD=DC=2，点M是BD的中点，现将平面四边形ABCD沿对角线BD折起成四面体PBCD．
（1）当平面PBD⊥平面CBD时，求证：BP⊥平面PCD；
（2）在（1）的条件下，求二面角M-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥平面PBD，从而CD⊥BP，再由BP⊥PD，能证明BP⊥平面PCD．
（2）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵平面PBD⊥平面CBD，BD⊥CD，
平面PBD∩平面CBD=BD，
∴CD⊥平面PBD，
∵BP?平面PBD，
∴CD⊥BP，
又BP⊥PD，
CD∩PD=D，
∴BP⊥平面PCD．
解：（2）如图，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，
过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，2，0），
P（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），M（$\sqrt{2}，0，0$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（0，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MC}$=（-$\sqrt{2}，2，0$），
由（1）知BP⊥平面PCD，
则平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}$），
设平面MPC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MP}=\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=-\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，1，0$），
设二面角M-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角M-PC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．