Question

14．如图，将1，2，3，4任意排成2行2列的田字形数表．
（1）求对角线上数字之和相等的概率；
（2）设每行中的任意两个数a，b（a＞b）的比值为$\frac{a}{b}$，记这两个比值中的最小值为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出将1，2，3，4任意排成2行2列的田字形数表的方法种数，结合1+4=2+3求得对角线上数字之和相等的个数，再由古典概型概率计算公式求解；
（2）由题意得到X的所有可能取值，分别求其概率，可得分布列，进一步求得数学期望．

解答 解：（1）将1，2，3，4任意排成2行2列的田字形数表共有${A}_{4}^{4}=24$种不同排法．
∵1+4=2+3，∴对角线上数字之和相等共有$2{A}_{2}^{2}{A}_{2}^{2}=8$种．
∴对角线上数字之和相等的概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$；
（2）X=$\frac{4}{3}，\frac{3}{2}，2$．
则P（x=$\frac{4}{3}$）=$\frac{1}{3}$，P（x=$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{3}$，P（x=2）=$\frac{1}{3}$．
故X的分布列为

X	$\frac{4}{3}$	$\frac{3}{2}$	2
p	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

EX=$（\frac{4}{3}+\frac{3}{2}+2）×\frac{1}{3}=\frac{29}{18}$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查利用排列组合知识求古典概型的概率，是中档题．