Question

13．如图，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．
（1）求证：PA∥平面EFG；
（2）若M为线段CD上的一个动点，问点M在什么位置时，直线MF与平面EFG所成的角最大？并求此最大角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过P作AD的垂线，垂足为O，则PO⊥平面ABCD．过O作BC的垂线，交BC于H，分别以OH，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面EFG．
（2）求出$\overrightarrow{MF}=（\frac{3}{2}-x，-1，\sqrt{3}）$和平面EFG的法向量，利用向量法能出结果．

解答 证明：（1）∵AD⊥CD，PD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD
过P作AD的垂线，垂足为O，则PO⊥平面ABCD．
过O作BC的垂线，交BC于H，
分别以OH，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∵∠PDO是二面角P-PC-A的平面角，∴∠PDO=60°，
又∵PD=4，∴$OP=2\sqrt{3}．OD=2，AO=1$，
$A（0，-1，0），P（0，0，2\sqrt{3}），D（0，2，0）$，$E（0，1，\sqrt{3}），F（\frac{3}{2}，1，\sqrt{3}），G（3，\frac{1}{2}，0）$，
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{3}{2}$，0，0），$\overrightarrow{EG}$=（3，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），
设平面EFG的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{3}{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=3x-\frac{1}{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2$\sqrt{3}$，1），
∵$\overrightarrow{PA}=（0，-1，-2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}$=0，
∴$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PA}$，又PA?平面EFG，
故PA∥平面EFG．
解：（2）设M（x，2，0），则$\overrightarrow{MF}=（\frac{3}{2}-x，-1，\sqrt{3}）$，
设MF与平面EFG所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MF}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{MF}|}$|=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{（\frac{3}{2}-x）^{2}+4}}$，
故当$x=\frac{3}{2}时，sinθ$取到最大值，则θ取到最大值，
此时点M为线段CD的中点，MF与平面EFG所成角的余弦值$cosθ=\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足线面角最大的点的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．