Question

3．已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1），g（x）=log₃x，若函数f（x）的定义域与值域都是[1，a]，则对于任意的x₁，x₂∈[1，a+1]时，总有$|{f（{x_1}）-g（{x_2}）}|≤{t^2}+2t-1$恒成立，则t的取值范围为（　　）

• A． [1，3]
• B． [-1，3]
• C． [1，+∞）∪（-∞，-3]
• D． [3，+∞）∪（-∞，-1]

Answer 1

分析 根据二次函数的对称轴判断出函数单调性，得出a=f（1），求出a=2，进而求出只需t²+2t-3≥0，得出答案．

解答 解：函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]
∴函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减
∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
∴f（x）=x²-4x+5，g（x）=log₃x．
∵对于任意的x₁，x₂∈[1，3]，1≤f（x）≤2，0≤g（x）≤1，
∴t²+2t-3≥0，
∴t∈[1，+∞）∪（-∞，-3]．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．