Question

6．如图在正方体中
（1）求异面直线BC₁与CD₁所成的角；
（2）求直线D₁B与底面ABCD所成角的正弦值；
（3）求二面角D₁-AC-D大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）由BC₁∥AD₁，知∠AD₁C即为BC₁与CD₁所成角，由此能求出BC₁与CD₁所成角．
（2）利用DD₁⊥平面ABCD，可得∠D₁DB为直线D₁B与平面ABCD所成的角，利用正弦函数可得结论；
（3）连接BD交AC于O，则DO⊥AC，根据正方体的性质，D₁D⊥AC，得出AC⊥D₁O，∠D₁OD为二面角D₁-AC-D的平面角，在直角三角形D₁OD中求解即可．

解答 解：（1）连接AC，AD₁，如图所示：
∵BC₁∥AD₁，
∴∠AD₁C即为BC₁与CD₁所成角，
∵△AD₁C为等边三角形，
∴∠AD₁C=60°，
故异面直线BC₁与CD₁所成的角为60°；
（2）∵DD₁⊥平面ABCD，
∴∠D₁DB为直线D₁B与平面ABCD所成的角，
在Rt△D₁DB中，sin∠D₁DB=$\frac{{D}_{1}D}{{D}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴直线D₁B与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）连接BD交AC于O，则DO⊥AC，
根据正方体的性质，D₁D⊥面AC，
∴D₁D⊥AC，D₁D∩DO=D，
∴AC⊥面D₁OD，∴AC⊥D₁O，
∴∠D₁OD为二面角D₁-AC-D的平面角．
设正方体棱长为1，
在直角三角形D₁OD中，DO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DD₁=1，
∴tan∠D₁OD=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是异面直线的夹角，直线与平面的夹角，二面角，难度中档．