Question

11．已知a，b，c为圆O上的三点，若$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，则|$\overrightarrow{AO}$|=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由题意和向量的运算可得BC为圆O的直径，进而由直径所对的圆周角为直角，即可求出半径．

解答 解：∵A，B，C是圆O上的三点，$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴根据向量加法的运算，几何意义得出O为BC的中点，
即BC为圆O的直径，
∴圆周角∠CAB=90°
∴$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角为90°
∵|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴|$\overrightarrow{AO}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BC}$|=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题考查向量的夹角，涉及圆的知识，属基础题．