Question

1．如图，曲线C由上半椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=-x²+1（y≤0）连接而成，C₁、C₂的公共点为A，B，其中C₁的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C₂：y=-x²+1，令y=0，解得x=±1，则A（-1，0），B（1，0），由椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）焦点在y轴上，a=2，b=1；
（2）由（Ⅰ）知上半椭圆C₁的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$y≥0，设其方程为y=k（x-1）（k≠0），代入C₁的方程，整理得（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．（*）设点P（x_p，y_p），依题意，可求得点P的坐标为（$\frac{{k}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，-$\frac{8p}{{k}^{2}+4}$）；同理可得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），利用$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，可求得k的值，从而可得答案．

解答 解：（1）由抛物线C₂：y=-x²+1，令y=0，解得x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0）
由椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）焦点在y轴上，
∴a=2，b=1；
（2）由（1）可知：曲线C₁标准方程：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$，y≥0，
设过B（1，0）的直线方程为：y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．
设点P（x_p，y_p），
∵直线l过点B，
∴x=1是方程（*）的一个根，
由求根公式，得x_p=$\frac{{k}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，从而y_p=-$\frac{8p}{{k}^{2}+4}$，
∴点P的坐标为（$\frac{{k}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，-$\frac{8p}{{k}^{2}+4}$）．
同理，由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）（k≠0）}\\{y=-{x}^{2}+1（y≤0）}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），
$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$（k，-4），$\overrightarrow{AQ}$═-k（1，k+2），
由AP⊥AQ，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，即$\frac{-2{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$[k-4（k+2）]=0，
∵k≠0，
∴k-4（k+2）=0，解得：k=-$\frac{8}{3}$．
经检验，k=-$\frac{8}{3}$符合题意，
故直线l的方程为：y=-$\frac{8}{3}$（x-1），即8x+3y-8=0．

点评 本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想与函数与方程思想的应用，属于中档题．