Question

9．直线x+y=$\sqrt{3}$a与圆x²+y²=a²+（a-1）²相交于点A、B，点O是坐标原点，若△AOB是正三角形，则实数a=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得，圆心（0，0）到直线x+y=$\sqrt{3}$a的距离等于半径的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，再利用点到直线的距离公式解得a的值．

解答 解：由题意可得，圆的半径为$\sqrt{{a}^{2}+（a-1）^{2}}$，
圆心（0，0）到直线x+y=$\sqrt{3}$a的距离等于半径的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，
即$\frac{|0+0-\sqrt{3}a|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}•$$\sqrt{{a}^{2}+（a-1）^{2}}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
故选C．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．