Question

4．如图，过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线相交于A，B两点．直线l₁∥l，且与抛物线C相切于点P，直线PF交抛物线于另一点Q．已知抛物线C上纵坐标为$\frac{3p}{2}$的点M到焦点F的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求△ABQ的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=kx+$\frac{1}{2}$，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得交点P，Q的坐标，再求Q到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，再利用导数，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）设M（x，$\frac{3p}{2}$）为抛物线C上任意一点，则
∴|MF|=$\frac{3P}{2}$+$\frac{P}{2}$=2P，由题意知2P=2
∴P=1，
∴抛物线C的方程为x²=2y，
（2）由（I）知F（0，$\frac{1}{2}$），设设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=kx+$\frac{1}{2}$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，得到x²-2kx-1=0，
则x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1，
∴|AB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$$\sqrt{4{k}^{2}+4}$=2（k²+1）
设P（x₀，y₀），则k_l=x₀，由l₁∥l得x₀=k，
∴P（k，$\frac{1}{2}$k²）
∴k_FP=$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，
直线PQ∴y═$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$x+$\frac{1}{2}$与x²=2y联立得x²-$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x-1=0，x_Q•k=-1，x_Q=-$\frac{1}{k}$，
∴Q（-$\frac{1}{k}$，$\frac{1}{2{k}^{2}}$），
∴Q到l的距离d=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}}$
∴S=$\frac{1}{2}$×2（k²+1）×$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}}$=$\frac{（{k}^{2}+1）\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}}$（k≠0），
令t=$\sqrt{{k}^{2}+1}$∈（1，+∞），则S=$\frac{{t}^{3}}{2（{t}^{2}-1）}$，
∴S′（t）=$\frac{{t}^{4}-3{t}^{2}}{2（{t}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{{t}^{2}（t+\sqrt{3}）（t-\sqrt{3}）}{2（{t}^{2}-1）^{2}}$，
∴S（t）在（1，$\sqrt{3}$），上递减，在（$\sqrt{3}$，+∞）递增，
∴S_最小（t）=S（$\sqrt{3}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用抛物线的定义，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及抛物线的切线的方程求交点，考查点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．