Question

10．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（1）若PB=1，求PA；
（2）若∠APB=120°，设∠PBA=α，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得∠PBC=60°，可得∠PBA=30°，在△PBA中，由余弦定理即可得出．
（2）已知得∠PCB=α，PB=2sinα，在△PBA中，由正弦定理得$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}=\frac{2sinα}{sin（60°-α）}$，化简整理即可得出．

解答 解：（1）由已知得∠PBC=60°，∴∠PBA=30°，
在△PBA中，由余弦定理得PA=$\sqrt{12+1-2×2\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{7}$．
（2）由已知得∠PCB=α，PB=2sinα，
在△PBA中，由正弦定理得$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}=\frac{2sinα}{sin（60°-α）}$，化简得3cosα=2$\sqrt{3}$sinα，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．