Question

20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（I）求函数f（x）的解析式
（II）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间和值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的奇偶性，结合已知条件，求解函数的解析式即可．
（Ⅱ）画出函数的图象，利用函数的图象，求解函数的单调区间与函数的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）当x＞0时，-x＜0∴f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x
又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数∴f（x）=x²-2x
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x，（x≤0）}\\{{x^2}-2x，（x＞0）}\end{array}}\right.$；
（Ⅱ）如图所示

由图象知函数f（x）的增区间为（-1，0）和（1，+∞）；减区间为（-∞，-1）和（0，1）
函数f（x）的值域为[-1，+∞）．

点评 本题考查函数的图象与函数的解析式的求法，函数的值域与函数的单调性的判断，考查计算能力．