Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+2，x＞a\\ x{\;}^{2}+5x+2，x≤a\end{array}$函数g（x）=f（x）-2x恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 化简g（x）=f（x）-2x，而方程-x+2=0的解为2，方程x²+3x+2=0的解为-1，-2；推出a的不等式组，从而可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+2，x＞a\\ x{\;}^{2}+5x+2，x≤a\end{array}$，
∴g（x）=f（x）-2x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，
而方程-x+2=0的解为2，方程x²+3x+2=0的解为-1，-2；
若函数g（x）=f（x）-2x恰有2个不同的零点，
a＜2时，由函数的图象可知：函数的零点有3个，当a∈[2，+∞）时，函数的零点有2个．
即实数a的取值范围是：[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）

点评 本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于中档题．