Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c-b）cosA．
（1）若asinB=2$\sqrt{2}$，求b；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，且△ABC的面积为$\sqrt{2}$，求b+c的周长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=3，利用余弦定理即可求得b²+c²=6，进而可求b+c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由acosB=（3c-b）cosA及正弦定理得（3sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
得3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$①
∵asinB=2$\sqrt{2}$，②
联立①②，得
b=$\frac{2\sqrt{2}}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3；
（2）∵△ABC的面积为$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×bc×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴解得：bc=3．
∵cosA=$\frac{1}{3}$，a=2$\sqrt{2}$，利用余弦定理可得：8=b²+c²-2×bc×$\frac{1}{3}$=b²+c²-2，可得：b²+c²=10，
∴b+c=$\sqrt{（b+c）^{2}}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{6+2×3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关定理及公式是解本题的关键，属于中档题．