Question

15．曲线y=sin$\frac{πx}{2}$与y=x³围成的图形的面积是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{π}-\frac{1}{4}$
• D． $\frac{4}{π}-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出第一象限内的面积，根据函数的奇偶性，从而求出第三象限内的面积和第一象限内的面积相等，求出满足条件的面积即可．

解答 解：如图示：
，
曲线y=sin（$\frac{π}{2}$x）与y=x³在原点处相交，且在第一象限内交于点A（1，1），
同理在第三象限有面积相同的部分，
因此，所求阴影部分面积为
S=2${∫}_{0}^{1}$（sin（$\frac{π}{2}$x）-x³）dx=2（-$\frac{2}{π}$cos$\frac{π}{2}$x-$\frac{1}{4}$x⁴+C）${|}_{0}^{1}$
=2（-$\frac{2}{π}$cos$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{4}$×1⁴+C）-2（-$\frac{2}{π}$cos0-$\frac{1}{4}$×0⁴+C）=$\frac{4}{π}$-$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了定积分的求值，考查函数的奇偶性，是一道中档题．