Question

4．如图，双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作直线l交y轴于点Q．
（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F₁到直线l的距离；
（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若直线l与Γ交于不同两点A、B，且Γ上存在一点M，满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{0}$（其中O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，焦点在x轴上，a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{3+1}$=2，则令k=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，直线l的方程为：y=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-2），即x-$\sqrt{3}$y-2=0，则点F₁到直线l的距离为d=$\frac{|-2-0-2|}{\sqrt{1+3}}$=2；
（2）直线l的方程为y=x-2，点Q（0，-2），假设在Γ的右支上存在点P（x₀，y₀），则x₀＞0，$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0，代入求得y₀=x₀+2，代入双曲线方程求得2${{x}_{0}}^{2}$+12x₀+15=0，由△＜0，所以不存在点P在右支上；
（3）设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，由韦达定理则$\overrightarrow{OM}$=（x₃，y₃），$\overrightarrow{OM}$=-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），M为双曲线上一点，即x₃²-3y₃²=3，则x₁x₂-3y₁y₂=21①由x₁x₂-3y₁y₂=x₁x₂-3（x₁+b）（x₂+b），=-2x₁x₂-3b（x₁+x₂）-3b²=-2•$\frac{6kb}{1-{3k}^{2}}$-3b•$\frac{-{3b}^{2}-3}{1-{3k}^{2}}$-3b²=21，即可求得k与b的值，求得直线l的方程；方法二：设直线l的方程为y=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得M点坐标，代入双曲线的方程，即可求得m的值．

解答 解：（1）双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，焦点在x轴上，a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{3+1}$=2，
则双曲线左、右焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），
过F₂作直线l，设直线l的斜率为k，l交y轴于点Q．
当直线l平行于Γ的一条渐近线时，不妨令k=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
则直线l的方程为：y=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-2），
即x-$\sqrt{3}$y-2=0，
则点F₁到直线l的距离为d=$\frac{|-2-0-2|}{\sqrt{1+3}}$=2；
（2）当直线l的斜率为1时，直线l的方程为y=x-2，
则点Q（0，-2）；
假设在Γ的右支上存在点P（x₀，y₀），则x₀＞0；
∵$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0，
∴（x₀+2）（0+2）+（y₀-0）（-2-0）=0，
整理得y₀=x₀+2，
与双曲线方程$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$-${{y}_{0}}^{2}$=1联立，消去y₀，
得2${{x}_{0}}^{2}$+12x₀+15=0，
△=24＞0，方程有实根，
解得：x=$\frac{-12±2\sqrt{6}}{4}$＜$\sqrt{3}$，
所以不存在点P在右支上；
（3）当k=0时，直线l的方程x=2，
则A（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B（2，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），由$\overrightarrow{OM}$=-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），
∴M（1，0），则M不椭圆上，显然不存在，
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{3}{-y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得（1-3k²）x²-6kbx-3b²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{6kb}{1-{3k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-{3b}^{2}-3}{1-{3k}^{2}}$，
设$\overrightarrow{OM}$=（x₃，y₃），$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$=-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-\frac{1}{4}{（x}_{1}{+x}_{2}）}\\{{y}_{3}=-\frac{1}{4}{（y}_{1}{+y}_{2}）}\end{array}\right.$，
又M为双曲线上一点，即x₃²-3y₃²=3，
由（x₁+x₂）²-3（y₁+y₂）²=48，
化简得：（x₁²-3y₁²）+（x₂²-3y₂²）+2（x₁x₂-3y₁y₂）=48，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线上，
所以x₁²-3y₁²=3，x₂²-3y₂²=3，
∴x₁x₂-3y₁y₂=21，
由直线l过椭圆的右焦点F（2，0），则k=-$\frac{b}{2}$，①
而x₁x₂-3y₁y₂=x₁x₂-3（kx₁+b）（kx₂+b），
=x₁x₂-3k²x₁x₂-3kb（x₁+x₂）-3b²=-2•$\frac{6kb}{1-{3k}^{2}}$-3b•$\frac{-{3b}^{2}-3}{1-{3k}^{2}}$-3b²=21，②
由①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l的方程x=±$\sqrt{2}$y+2．
方法二：设直线l的方程为y=my+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²-3）y²+4my+1=0，
则y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}-3}$，y₁•y₂=$\frac{1}{{m}^{2}-3}$，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=-$\frac{12}{{m}^{2}-3}$，x₁•x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁•y₂+2m（y₁+y₂）+4=-$\frac{12+3{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$，
$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OM}$，则（x₁+x₂，y₁+y₂）=-$\overrightarrow{OM}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-4{x}_{0}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=-4{y}_{0}}\end{array}\right.$，
求得：x₀=$\frac{3}{{m}^{2}-3}$，y₀=$\frac{m}{{m}^{2}-3}$，
由M在椭圆方程，代入$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}-{y}_{0}^{2}=1$，求得m²=2，解得：m=±$\sqrt{2}$，
直线l的方程x=±$\sqrt{2}$y+2．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与双曲线的交点与△的关系，考查计算能力，属于难题．