Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，cos²ωx-$\frac{1}{2}$）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，若函数f（x）的图象的一条对称轴与它相邻的一个对称中心的距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再将各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间$[0，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式，根据函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为$\frac{π}{4}$，即可求函数f（x）的解析式．
（2）根据图象的平移和正弦函数的图象的性质即可得出结论．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}$．
由题意知f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$=π，所以ω=1，
所以f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到y=sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到$y=sin（4x-\frac{π}{3}）$的图象，
所以g（x）=sin（4x-$\frac{π}{3}$），
因为$0≤x≤\frac{π}{4}$，所以$-\frac{π}{3}≤4x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$．由正弦函数的图象得可知$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤g（x）≤1$．
所以g（x）在区间$[0，\frac{π}{4}]$上最大值为1和最小值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．