Question

6．如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD，AB=a，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点M，连接MO，PM，则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角，解得答案；
（2）连接AE，OE，则∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，解得答案．

解答 解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，
依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，
则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角．
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
AB=a，AO=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a，
∴PO=AO•tan∠POA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a，
tan∠PMO=$\frac{PO}{MO}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PMO=60°．…（6分）
（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE?平面PBD，
∴AO⊥OE．
∵OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{PO}^{2}+{DO}^{2}}$=$\frac{5}{4}$a，
∴tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角，异面直线的夹角，难度中档．