Question

17．已知一个口袋中装有n个红球（n≥1且n∈N）和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．
（1）当n=3时，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，求的ξ分布列；
（2）记三次摸球中（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大．

Answer 1

分析 1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p=$\frac{3×2}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P（ζ=2）=${C}_{3}^{2}$•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．

解答 解（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率$p=\frac{3×2}{C_5^2}=\frac{3}{5}$，
$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^3}=\frac{8}{125}$；    $P（ξ=1）=C_3^1（\frac{3}{5}）{（\frac{2}{5}）^2}=\frac{36}{125}$；
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{5}）^2}{（\frac{2}{5}）^{\;}}=\frac{54}{125}$；$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$；
ξ分布列为：

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

（2）设每次摸奖中奖的概率为p，
则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：
$P（ξ=2）=C_3^2•{p^2}•（1-p）=-3{p^3}+6{p^2}$，0＜p＜1，
P'=-9p²+6p=-3p（3p-2），知在$（0，\frac{2}{3}）$上P为增函数，在$（\frac{2}{3}，1）$上P为减函数，
当$p=\frac{2}{3}$时P取得最大值．
又$p=\frac{4n}{（n+1）（n+2）}=\frac{2}{3}$，
故n²-3n+2=0，解得：n=1或n=2，
故n为1或2时，P有最大值．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学斯望的求法，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．