Question

9．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆M交于y轴于P、Q两点．
（1）求线段PQ的长；
（2）动圆N的半径为1，N在直线4x-3y+20=0上运动，判断圆M和圆N能否有公共点，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论；
（2）求出圆心到直线的距离，即可判断．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{1+9+D+3E+F=0}\\{16+4+4D+2E+F=0}\\{1+49+D-7E+F=0}\end{array}\right.$，
∴D=-2，E=4，F=-20，
∴x²+y²-2x+4y-20=0，
令x=0，可得y²+4y-20=0，
∴y=-2±2$\sqrt{6}$，
∴|PQ|=4$\sqrt{6}$；
（2）x²+y²-2x+4y-20=0的圆心为（1，-2），半径为5，圆心到直线4x-3y+20=0的距离为$\frac{|4+6+20|}{5}$=6=1+5，
∴圆M和圆N能外切．

点评 本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．