Question

19．设F₁、F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C₁上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂最小内角的大小为30°，抛物线C₂：y²=12x的准线交双曲线C₁所得的弦长为4$\sqrt{3}$，则双曲线C₁的实轴长为（　　）

• A． 6
• B． 2$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设|PF₁|＞|PF₂|，由已知条件求出|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，e=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$a，利用抛物线C₂：y²=12x的准线交双曲线C₁所得的弦长为4$\sqrt{3}$，可得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{12}{{b}^{2}}$=1，由此能求出双曲线C₁的实轴长．

解答 解：设|PF₁|＞|PF₂|，则|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a．
则∠PF₁F₂是△PF₁F₂的最小内角为30°，
∴|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁|•|F₁F₂|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同时除以a²，化简e²-2$\sqrt{3}$e+3=0，
解得e=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{2}$a①
∵抛物线C₂：y²=12x的准线交双曲线C₁所得的弦长为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{12}{{b}^{2}}$=1②，
由①②可得2a=2$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线C₁的实轴长的求法，考查三角形的余弦定理和运用，考查运算能力，属于中档题．