Question

8．设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（$\sqrt{3}$，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF和△ACF的面积之比为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=2求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．

解答 解：∵抛物线方程为y²=2x，∴焦点F的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，
如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则|BF|=x₂+$\frac{1}{2}$=2，
∴x₂=$\frac{3}{2}$，
把x₂=$\frac{3}{2}$代入抛物线y²=2x，得，y₂=-$\sqrt{3}$，
∴直线AB过点M（$\sqrt{3}$，0）与（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{3}$）
方程为$\sqrt{3}$x+（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$）y-3=0，代入抛物线方程，解得，x₁=2
∴|AE|=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴|BC|：|AC|=|BN|：|AE|=2：$\frac{5}{2}$=$\frac{4}{5}$，
△BCF和△ACF的面积之比为：$\frac{1}{2}$|BC|•h：$\frac{1}{2}$|AC|•h=$\frac{4}{5}$
故答案为：$\frac{4}{5}$

点评 本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力