Question

3．已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-$\frac{a}{4}x+\frac{3}{2}$，若对任意给定的m∈[0，2]，关于x的方程f（x）=g（m）在区间[0，2]上总存在两个不同的解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 由题意可以把问题转化为求函数f（x）和函数g（x）的值域，并有题意转化为两个函数的值域的关系问题．

解答 解f′（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．
①当a=0时，f（x）=1，g（x）=$\frac{3}{2}$，显然不可能满足题意；
②当a＞0时，当a＜0时，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	-1		极小值1-a		1+4a

又因为当a＞0时，g（x）=-$\frac{a}{4}x+\frac{3}{2}$上是减函数，
对任意x∈[0，2]，g（x）∈[-$\frac{a}{2}$+$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]不合题意；
②当a＜0时，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	+	0	-
f（x）	1		极大值1-a		1+4a

又∵当a＜0时，g（x）=-$\frac{a}{4}$x+$\frac{3}{2}$在[0，2]上是增函数，
∴对任意x∈[0，2]，g（x）∈[$\frac{3}{2}$，-$\frac{a}{2}$+$\frac{3}{2}$]，
由题意，必有g（x）_max＜f（x）_max，
∴-$\frac{a}{2}$+$\frac{3}{2}$＜1-a，解得a＜-1
故a的取值范围为（-∞，-1）．
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，确定函数的最大值是关键．