Question

12．若（2+x）（1-x）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，则a₂+a₃=-1．

Answer 1

分析 根据题意只要先求出（1-x）⁶的通项，求解展开式中的含x²，x³项的系数，即可求a₂，a₃，从而得解a₂+a₃的值．

解答 解：由于：（2+x）（1-x）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，
而：（1-x）⁶展开式的通项为：T_r+1=C${\;}_{6}^{r}$（-x）^r，
所以：（2+x）（1-x）⁶展开式中含x²的项为：2C${\;}_{6}^{2}$（-x）²+x•C${\;}_{6}^{1}$（-x）=30x²-6x²=24x²，可得：a₂=24，
（2+x）（1-x）⁶展开式中含x³的项为：2C${\;}_{6}^{3}$（-x）³+x•C${\;}_{6}^{2}$（-x）²=-40x³+15x³=-25x³，可得：a₃=-25，
∴a₂+a₃=-1．
故答案为：-1．

点评 本题主要考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，解题的关键是寻求指定项得到的途径，属于中档题．