Question

2．已知f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有$f（x）＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$成立，其中e为自然对数的底数．

Answer 1

分析 （1）求导函数，确定函数的单调性，进而可求函数f（x）=xlnx在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；
（2）问题等价于证明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$成立，求出f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）的最小值，$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知x∈（0，+∞），f'（x）=lnx+1，…（1分）
∴当$x∈（0，\frac{1}{e}）$，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（3分）
∵m＞0，∴$m+2＞2＞\frac{1}{e}$
∴①当$0＜m＜\frac{1}{e}$时，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；…（5分）
②当$m≥\frac{1}{e}$时，f（x）在[m，m+2]上单调递增，f（x）_min=f（m）=mlnm；
∴$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{e}，0＜m＜\frac{1}{e}\\ mlnm，m≥\frac{1}{e}\end{array}\right.$．  …（7分）
（Ⅱ）问题等价于证明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$成立，由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是$-\frac{1}{e}$，当且仅当$x=\frac{1}{e}$时取到．…（8分）
设$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$，则$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；…（10分）
∴$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{e}$，当且仅当x=1时取到，…（11分）
∴对一切x∈（0，+∞），都有$f（x）＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$成立． …（12分）

点评 本题考查了利用导数求函数的最值，及函数不等式恒成立问题．转化思想是关键，属于中档题．