Question

15．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R．
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数与单调性、极值的关系求解：（2）f（x）在区间[0，2]上单调递增⇒f′（x）≥0上[0，2]恒成立．

解答 解：（Ⅰ）由 k=e得f（x）=e^x-ex，所以 f′（x）=e^x-e．…2分
        令f′（x）=0 解得 x=1，
 f′（x）与f（x）的关系如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	单减		单增

故单调减区间为：（-∞，1），单调递增区间为：（1，+∞）…..6分
       当 x=1时f（x） 取得极小值为 f（1）=0…..8分
（Ⅱ）若 f（x）在区间[0，2]上单调递增，则有
在 f′（x）=e^x-k≥0上[0，2]恒成立，即 k≤e^x，…．…..10分
而 e^x在[0，2]上的最小值为 1，
故 k≤1…12分

点评 本题考查了利用导数求单调区间、极值，考查了已知单调性求参数问题．