Question

5．若函数f（x）=x+$\frac{k}{x}$在[1，3]上的最小值为t，若t≠2$\sqrt{k}$，则正数k的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．

Answer 1

分析 运用基本不等式可得f（x）≥2$\sqrt{k}$，由等号成立的条件可得$\sqrt{k}$∉[1，3]，继而求出k的最大值与最小值．

解答 解：由题意得：x＞0，
∴f（x）=x+$\frac{k}{x}$≥2$\sqrt{k}$，
∵函数f（x）=x+$\frac{k}{x}$在[1，3]上的最小值为t，且t≠2$\sqrt{k}$，
当x=$\sqrt{k}$时，函数f（x）取得最小值2$\sqrt{k}$，
∴$\sqrt{k}$∉[1，3]，
∴正数k的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）．

点评 本题考查了基本不等式的运用：求最值，考查了运算能力，属于基础题．