Question

3．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A=60°，E，F分别为AB，AD的中点，现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD．

（Ⅰ）求证：EF∥平面ABH；
（Ⅱ）若平面EBHD⊥平面ADE，求二面角B-AH-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AH中点G，连接BG，FG，证明：BEFG为平行四边形，因此EF∥BG，即可证明EF∥平面ABH；
（Ⅱ）若平面EBHD⊥平面ADE，建立直角坐标系，以E为坐标原点，以AE为x轴，DE为y轴，求出平面的法向量，即可求二面角B-AH-D的平面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AH中点G，连接BG，FG，则
因为E为AB的中点，
四边形ABCD为菱形，
所以BE平行且等于$\frac{1}{2}$HD，
又因为FG为三角形ABH的中位线，所以FG平行且等于$\frac{1}{2}$HD
故BE平行且等于FG，即BEFG为平行四边形，
因此EF∥BG，
因为EF?平面ABH，BG?平面ABH
所以EF∥平面ABH；
（Ⅱ）解：因为∠A=60°，所以DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
故翻折之后BE⊥ED，AE⊥ED，
因此∠BED为二面角A-DE-H的平面角，
故∠BED=90°．因此BE⊥AE．
建立直角坐标系，以E为坐标原点，以AE为x轴，DE为y轴，且设菱形边长为2，
则 A（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），B（0，0，1），H（0，$\sqrt{3}$，2）
因此，$\overrightarrow{AB}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AH}$=（-1，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{DH}$=（0，0，2）
设平面ABH的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-x+z=0}\\{-x+\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{m}$=（-3，$\sqrt{3}$，3）．
同理，平面ADH的法向量为$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，0）．
于是，cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-9+3}{\sqrt{9+3+9}•\sqrt{9+3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
由题知，所求二面角为钝角，故二面角B-AH-D的平面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查二面角B-AH-D的平面角的余弦值，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．