Question

2．一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中红球的个数为X．
（1）求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；
（2）求X的分布列及X的数学期望．（E（X）=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n）

Answer 1

分析 （1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从8个球中摸出3个，共有C₈³种结果，满足条件的事件是摸出的三个球中既有红球又有白球，共有C₅¹C₃²+C₅²C₃¹，做出概率．
（2）由题意知变量X的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件，利用等可能事件的概率公式写出变量的概率，写出分布列和期望．

解答 解：（1）记“摸出的三个球中既有红球又有白球”为事件A，
由题意知，$P（A）=\frac{C_5^1C_3^2+C_5^2C_3^1}{C_8^3}=\frac{45}{56}$，
∴摸出的三个球中既有红球又有白球的概率$\frac{45}{56}$；
（2）X的可能取值是0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{C_5^0C_3^3}{C_8^3}=\frac{1}{56}$，$P（X=1）=\frac{C_5^1C_3^2}{C_8^3}=\frac{15}{56}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_3^1}{C_8^3}=\frac{30}{56}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_3^0}{C_8^3}=\frac{10}{56}$
∴X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{10}{56}$

∴X的数学期望是E（X）=$0×\frac{1}{56}+1×\frac{15}{56}+2×\frac{30}{56}+3×\frac{10}{56}=\frac{15}{8}$．

点评 本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个近几年高考题目中经常出现的问题，只要注意解题的格式，就没有问题．